设α1,α2,α3均为3维向量,则对任意常数k,l,向量组α1+kα3,α2+lα3线性无关是向量组α1,α2,α3线性无关的( )

admin2018-07-26  35

问题 设α1,α2,α3均为3维向量,则对任意常数k,l,向量组α1+kα3,α2+lα3线性无关是向量组α1,α2,α3线性无关的(    )

选项 A、必要非充分条件
B、充分非必要条件
C、充分必要条件
D、既非充分也非必要条件

答案A

解析 1 记向量组(Ⅰ):α1+kα3,α2+lα3
向量组(Ⅱ):α1,α2,α3
(Ⅰ)是由(Ⅱ)线性表出的,写成矩阵形式即是:
1+kα3,α2+lα3]=[α1,α2,α3]
当(Ⅱ)线性无关时,矩阵[α1,α2,α3]为列满秩的,由于用列满秩阵左乘矩阵后,矩阵的秩不变,而矩阵的秩为2,所以此时上式等号左边矩阵的秩也为2,也就是该矩阵的列秩为2,从而知向量组(Ⅰ)线性无关,所以,(Ⅰ)线性无关是(Ⅱ)线性无关的必要条件.
但(Ⅰ)线性无关不是(Ⅱ)线性无关的充分条件,例如当k=l=0时,(Ⅰ)线性无关即向量组α1,α2线性无关,却不能保证(Ⅱ)线性无关.
2 设有常数x1,x2,使得
x11+kα3)+x22+lα3)=0
即x1α1+x2α2+(x1k+x2l)α3=0,
若(Ⅱ)线性无关,则x1=x2=x1k+x2l=0,故由定义知(Ⅰ)线性无关.但若(Ⅰ)线性无关,(Ⅱ)却未必线性无关,例如α1=(1,0,0)T,α2=(0,1,0)T,α3=0,则(Ⅰ)线性无关,但(Ⅱ)却线性相关.因此,(Ⅰ)线性无关是(Ⅱ)线性无关的必要非充分条件.
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