2. 考研
  3. 设有一小山，取它的底面所在的平面为xDy坐标面，其底部所占的区域为D={(x，y)｜x2+y2一xy≤75}，小山的高度函数为h(x，y)=75—x2—y2+xy。 现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚下寻找一坡度最大的点作为攀登的起点。也就是说，

设有一小山，取它的底面所在的平面为xDy坐标面，其底部所占的区域为D={(x，y)｜x2+y2一xy≤75}，小山的高度函数为h(x，y)=75—x2—y2+xy。 现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚下寻找一坡度最大的点作为攀登的起点。也就是说，

admin2018-12-29  29
问题 设有一小山，取它的底面所在的平面为xDy坐标面，其底部所占的区域为D={(x，y)｜x2+y2一xy≤75}，小山的高度函数为h(x，y)=75—x2—y2+xy。
现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚下寻找一坡度最大的点作为攀登的起点。也就是说，要在D的边界线x2+y2—xy=75上找出使上小题中g(x，y)达到最大值的点。试确定攀登起点的位置。
选项
答案求g(x，y)在条件x2+y2—xy—75=0下的最大值点等价于g2(x，y)=(y—2x)2+(x—2y)2=5x2+5y2—8xy在条件x2+y2—xy—75=0下的最大值点。构造拉格朗日函数 L(x，y，λ) =5x2+5y2—8xy+λ(x2+y2—xy—75)， 则有 [*] 联立(1)，(2)解得y= —x，λ= —6或y=x，λ= —2。 若y= —x，则由(3)式得3x2=75，即x=±5，y=±5。 若y=x，则由(3)式得x2=75，即[*]。 于是得可能的极值点 M1(5，—5)，M2(—5，5)，[*]。 现比较f(x，y)=g2(x，y)=5x2+5y2—8xy在这些点的函数值，有 f(M1)=f(M2)=450，f(M3)=f(M4)=150。 因为实际问题存在最大值，而最大值又只可能在M1，M2，M3，M4中取到。所以g2(x，y)在M1， M2取得边界线D上的最大值，即M1，M2可作为攀登的起点。
解析
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考研数学一

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