2. 职业资格
  3. 设函数f(χ)在R上连续且可导。 (1)当f(χ)＝χ2，且g(χ)＝eχf(χ)时，求证f(χ)与g(χ)有共同驻点。 (2)当f(a)＝f(b)＝0(a＜b)时，求证方程f′(χ)＋f(χ)＝0在(a，b)内至少有一个实根。

设函数f(χ)在R上连续且可导。 (1)当f(χ)＝χ2，且g(χ)＝eχf(χ)时，求证f(χ)与g(χ)有共同驻点。 (2)当f(a)＝f(b)＝0(a＜b)时，求证方程f′(χ)＋f(χ)＝0在(a，b)内至少有一个实根。

admin2017-04-24  1
问题 设函数f(χ)在R上连续且可导。
    (1)当f(χ)＝χ2，且g(χ)＝eχf(χ)时，求证f(χ)与g(χ)有共同驻点。
    (2)当f(a)＝f(b)＝0(a＜b)时，求证方程f′(χ)＋f(χ)＝0在(a，b)内至少有一个实根。
选项
答案(1)证明：因为函数f(χ)在R上连续且可导，所以f′(χ)＝2χ，令f′(χ)＝0得χ＝0，所以f(χ)的驻点为(0，0)。g′(χ)＝eχf(χ)＋eχf′(χ)＝eχ(χ2＋2χ)，令g′(χ)＝0得χ＝0，所以g(χ)的驻点为(0，0)。即证得f(χ)与g(χ)有共同驻点。 (2)证明：设F(χ)＝eχf(χ)，因为f(a)＝f(b)＝0，所以F(a)＝eaf(a)＝0，F(b)＝ebf(b)＝0，即F(a)＝F(b)。 又函数f(χ)在R上连续且可导，所以F(χ)在R上连续且可导，根据罗尔定理，存在ξ∈(a，b)，使得F′(ξ)＝eξf′(ξ)＋eξf(ξ)＝eξ[f′(ξ)＋f(ξ)]＝0，又eξ≠0，所以f′(ξ)＋f(ξ)＝0。即存在ξ∈(a，b)，使得f′(ξ)＋f(ξ)＝0。所以方程f′(χ)＋f(χ)＝0在(a，b)至少有一个实根。
解析
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