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  3. 用非退化(可逆)的线性变换化二次型 f(x1，x2，x3)=－4x1x2+2x1x3+2x2x3 为标准形，并求此非退化的线性变换．

用非退化(可逆)的线性变换化二次型 f(x1，x2，x3)=－4x1x2+2x1x3+2x2x3 为标准形，并求此非退化的线性变换．

admin2016-11-03  13
问题 用非退化(可逆)的线性变换化二次型
f(x1，x2，x3)=－4x1x2+2x1x3+2x2x3
为标准形，并求此非退化的线性变换．
选项
答案令 [*]① 则 [*] 再令 [*]② 则 原式=－[*] 因此原二次型的标准形为[*] 所作的非退化的线性变换是用新变量表示旧变量的线性变换，即 X=PZ， 其中X=[x1，x2，x3]T， Z=[z1，z2，z3]T． 为求此变换，由方程组②得到 y3=z3， y2=z2， y1=(z1+z3)／2． 将此代入方程组①得到所求的非退化的线性变换： [*] 即 [*] 且使 [*]
解析 由于所给的二次型的各项全是交叉项，不含平方项，故常作可逆的线性变换：x1=y1+y2，x2=y1一y2，x3=y3将其化为标准形．
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