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案例:阅读下列三位教师有关“正弦定理”的教学片段。 教师甲的教学过程: 创设情境: 问题1:在建设水口电站闽江桥时,需预先测量桥长AB,于是在江边选取一个测量点C,测得CB=435m,∠CBA=88°,∠BCA=42°。由
案例:阅读下列三位教师有关“正弦定理”的教学片段。 教师甲的教学过程: 创设情境: 问题1:在建设水口电站闽江桥时,需预先测量桥长AB,于是在江边选取一个测量点C,测得CB=435m,∠CBA=88°,∠BCA=42°。由
admin
2015-08-13
45
问题
案例:阅读下列三位教师有关“正弦定理”的教学片段。
教师甲的教学过程:
创设情境:
问题1:在建设水口电站闽江桥时,需预先测量桥长AB,于是在江边选取一个测量点C,测得CB=435m,∠CBA=88°,∠BCA=42°。由以上数据,能测算出桥长AB吗?这是一个什么数学问题?
引出:解三角形——已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程。
(设计意图:从实际问题出发,引入数学课题。)
师:解三角形,需要用到许多三角形的知识,你对三角形中的边角知识知多少?
生:……,“大角对大边,大边对大角”。
师:“a>b>c←→A>B>C”,这是定性地研究三角形中的边角关系,我们能否更深刻地、从定量的角度研究三角形中的边角关系?
引出课题:“正弦定理”。
教师乙的教学过程:
师:请同学们想一想,我们以前遇到解三角形的一般问题时,是怎样处理的?
众学生:先从特殊事例入手,寻求答案或发现解法。可以以直角三角形为特例,先在直角三角形中试探一下。
师:如果一般三角形具有某种边角关系,那么对于特殊的三角形——直角三角形也是成立的,因此我们先研究特例,请同学们对直角三角形进行研究,寻找一般三角形的各边及其对角之间的关系。同学们可以参与小组共同研究。
(1)学生以小组为单位进行研究;教师观察学生的研究进展情况或参与学生的研究。
(2)展示学生研究的结果。
师:请说出你研究的结论?
生:
师:你是怎样想出来的?
生:因为在直角三角形中,它们的比值都等于斜边c。
师:有没有其他的研究结论?(根据实际情况,引导学生分析判断结论正确与否,或留课后进一步深入研究。)
师:
对一般三角形是否成立呢?
众学生:不一定,可以先用具体例子检验,若有一个不成立,则否定结论;若都成立,则说明这个结论很可能成立,再想办法进行严格的证明。
师:这是个好主意。那么
对等边三角形是否成立呢?
生:成立。
师:对任意三角形
是否成立呢?现在让我们借助于《几何画板》做一个数学实验,……
师:借助于电脑与多媒体,利用《几何画板》软件,演示正弦定理教学课件。边演示边引导学生观察三角形形状的变化与三个比值的变化情况。
结论:
对于任意三角形都成立。
教师丙的教学过程:
师:对任意的三角形,如何用数学的思想方法证明
呢?之前的探索对我们有没有帮助?学生分组讨论,每组派一个代表总结。(以下的证明过程,根据学生回答情况进行叙述)
生:思考得出
①在Rt△ABC中成立,如前面检验。
②在锐角三角形中,如图1设BC=a,CA=b,AB=c
作:AD⊥BC,垂足为D
在Rt△ABD中,
∴AD=AB·sinB=c·sinB
在Rt△ADC中,
∴AD=AC·sinC=b·sinC
∴csinB=bsinC
∴
同理,在△ABC中,
∴
③在钝角三角形中,如图2设∠C为钝角,BC=a,CA=b,AB=c
作AD⊥BC交BC的延长线于D
在Rt△ABD中,
∴AD=AB·sinB=c·sinB
在RT△ADC中,
∴AD=AC·sin∠ACD=b·sin∠ACB
∴c·sinB=b·sin∠ACB
∴
同锐角三角形证明可知
师:我们把这条性质称为正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即
问题:
(1)分析三种教学过程的特点。
(2)说明正弦定理的教学过程中应该注意的问题。
选项
答案
(1)教师甲:从联系的观点,从新的角度看过去的问题,使学生对于过去的知识有了新的认识,同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上,形成良好的知识结构。 教师乙:教师参与学生之间的研究,增进师生之间的思维与情感的交流,并通过教师的指导与观察,及时掌握学生研究的情况,为展示学生的研究结论作准备;同时通过展示研究结论,强化学生学习的动机,增进学生的成功感及学习的信心。引导学生的思维逐步形成“情境思考”一“提出问题”一“研究特例”一“归纳猜想”一“实验探究”一“理论探究”一“解决问题”的思维方式,进而形成解决问题的能力。 教师丙:经历证明猜想的过程,进一步引导启发学生利用已有的数学知识论证猜想,力图让学生体验数学的学习过程。 (2)“解三角形”既是高中数学的基本内容,又有较强的应用性,在这次课程改革中,被保留下来,并独立成为一章。解三角形作为几何度量问题,应突出几何的作用和数量化的思想,为学生进一步学习数学奠定基础。“正弦定理”作为单元的起始课,为后续内容作知识与方法的准备,是在学生已有的三角函数及向量知识的基础上,通过对三角形边角关系作量化探究,发现并掌握正弦定理(重要的解三角形工具),解决简单的三角形度量问题。教学过程中,应发挥学生的主动性,通过探索发现、合情推理与演绎证明的过程,提高学生的思辨能力。
解析
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