[2002年] 设A是n阶实对称矩阵,P是n阶可逆矩阵,已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量,则矩阵(P-1AP)T属于特征值λ的特征向量是( ).

admin2019-04-15  75

问题 [2002年]  设A是n阶实对称矩阵,P是n阶可逆矩阵,已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量,则矩阵(P-1AP)T属于特征值λ的特征向量是(    ).

选项 A、P-1α
B、PTα
C、Pα
D、(P-1)Tα

答案B

解析 解一  由题设有Aα=λα,且AT=A,令B=(P-1AP)T,则
             B=(P-1AP)T=PTAT(P-1)T=PTA(PT)-1,  A=(PT)-1BPT
故Aα=(PT)-1BPTα,即(PT)-1B(PTα)=λα.两边左乘PT,得到B(PTα)=λPTα.
    又PTα≠0.事实上,如PTα=0,则由P为可逆矩阵知,PT也为可逆矩阵,于是有(PT)-1PTα=(PT)-10=0,即α=0.这与α≠0矛盾,故PTα为矩阵B=(P-1AP)T的属于特征值λ的特征向量.仅(B)入选.
    解二  用定义(P-1AP)TX=λX判别.当X=PTα时,计算(P-1AP)T(PTα)时看其是否为P-1Tα的λ倍.事实上,有
             (P-1AP)T(PTα)=PTA T(P-1)T(PTα)=PTA(PT)-1PTα=PT(Aα)=λPTα.
又PTT≠0.因而PTT是(PTAP)-1的属于特征值λ的特征向量.
    解三  为检验选项中4个向量哪个是特征向量,只需检验哪个向量是齐次方程组[(P-1AP)T-λE]X=0的非零解向量.事实上,令X=PTT,有
              [(P-1AP)T-λE](PTα)=[PTA(PT)-1PTα-λPTα]=PTAα-λPTα=λPTα-λPTα=0.
    易验证(A)、(C)、(D)中向量均不满足上述方程.又PTα≠0.仅(B)入选.
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