设矩阵A=,求f(A)=A10-6A9+5A8

admin2020-06-05  7

问题 设矩阵A=,求f(A)=A10-6A9+5A8

选项

答案方法一 因为矩阵A的特征多项式为 |A-λE|=[*] =(1-λ)(1+λ)(λ-5) 所以矩阵A的特征值为λ1=﹣1,λ2=1,λ3=5. 当λ1=﹣1时,解方程(A+E)x=0.由 A+E=[*] 得基础解系为p1=(﹣1,﹣1,2)T. 当λ2=1时,解方程(A-E)x=0.由 A-E=[*] 得基础解系为p2=(﹣1,1,0)T. 当λ3=5时,解方程(A-E)x=0.由 A-5E=[*] 得基础解系为p3=(1,1,1)T. 令P=(p1,p2,p3),根据相似对角化的结论可知P﹣1AP=[*]=diag(﹣1,1,5),进而A=P[*]P﹣1,于是 f(A)=Pf([*])P﹣1=Pdiag(f(﹣1),f(1),f(5))P﹣1 [*] 方法二 因为矩阵A的特征多项式为: |A-λE|=[*] =(1-λ)(1+λ)(λ-5) 所以A的特征值为λ1=﹣1,λ2=1,λ3=5.故存在正交矩阵Q=(q1,q2,q3),使得QTAQ=[*]=diag(﹣1,1,5),从而A=[*],进而 f(A)= [*] =12q1q1T 因此,只需计算矩阵A的属于特征值λ1=﹣1的单位特征向量q1即可. 当λ1=﹣1时,解方程(A+E)x=0.由 A+E=[*] 得基础解系为p1=(﹣1,﹣1,2)T,即可得q1=[*].因此 f(A)=[*] 方法三 矩阵A的特征多项式φ(λ)=|A—AE|=-λ3+5λ+λ-5,而 f(A)=﹣φ(A)(A7-A6+A5-A4+A3-A2+A-E)+A2-6A+5E 根据特征多项式的性质φ(A)=0,于是 f(A)=A2-6A+5E=(A-5E)(A-E) [*]

解析
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