已知函数z=z(x,y)由方程(x2+y2)z+ln z+2(x+y+1)=0所确定,求z=z(x,y)的极值

admin2022-09-22  33

问题 已知函数z=z(x,y)由方程(x2+y2)z+ln z+2(x+y+1)=0所确定,求z=z(x,y)的极值

选项

答案将方程(x2+y2)z+ln z+2(x+y+1)=0两边对x,y分别求偏导数,可得 [*] 从而可得[*]代入原方程(x2+y2)z+ln z+2(x+y+1)=0,有 2x2(-1/x)+ln(-1/x)+2(2x+1)=0, 解得x=-1,则y=-1,z=1.因此函数z=z(x,y)的驻点为(-1,-1). 将①式两边对x,y分别再求偏导数,得 [*] 将②式两边对y求偏导数,得 [*] 在点(-1,-1)处,由于AC-B2=4/9>0,A<0, 因此(-1,-1)为极大值点,极大值为z(-1,-1)=1.

解析
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