2. 考研
  3. 已知A=(α1，α2，α3，α4)，非齐次线性方程组Ax=b的通解为(1，1，1，1)T+k1(1，0，2，1)T+k2(2，1，1，-1)T． 令C=(α1，α2，α3，α4，b)，求Cx=b的通解．

已知A=(α1，α2，α3，α4)，非齐次线性方程组Ax=b的通解为(1，1，1，1)T+k1(1，0，2，1)T+k2(2，1，1，-1)T． 令C=(α1，α2，α3，α4，b)，求Cx=b的通解．

admin2019-08-27  27
问题 已知A=(α1，α2，α3，α4)，非齐次线性方程组Ax=b的通解为(1，1，1，1)T+k1(1，0，2，1)T+k2(2，1，1，-1)T．
令C=(α1，α2，α3，α4，b)，求Cx=b的通解．
选项
答案先求Cx=0的基础解系． 由于C即为线性方程组Ax=b的增广矩阵，故R(C)=R(A)=2，可知Cx=0的基础解系中含有5—2=3个线性无关的解向量，为此，需要找出Cx=0的三个线性无关的解． 由于(1，0，2，1)T，(2，1，1，-1)T均为Ax=0的解，可知(1，0，2，1，0)T，(2，1，1一1，0)T均为Cx=0的解．而(1，1，1，1)T为Ax=b的解，可知α1+α2+α3+α4=b，也即α1+α2+α3+α4-b=0，故(1，1，1，1，-1)T也为Cx=0的解． 这样，我们就找到了Cx=0的三个解：(1，0，2，1，0)T，(2，1，1，-1，0)T，(1，1，1，1，-1)T，容易验证它们是线性无关的，故它们即为Cx=0的基础解系． 最后，易知(O，0，0，0，1)T为Cx=b的解，故Cx=b的通解为(0，0，0，0，1)T+k1(1，0，2，1，0)T+k2(2，1，1，-1，0)T+k3(1，1，1，1，-1)T，ki∈R，i=1，2，3．
解析
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考研数学二

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