三元二次型f=XTAX经过正交变换化为标准形f=y12+y22-2y32,且A*+2E的非零特征值对应的特征向量为α1=,求此二次型.

admin2019-09-27  15

问题 三元二次型f=XTAX经过正交变换化为标准形f=y12+y22-2y32,且A*+2E的非零特征值对应的特征向量为α1=,求此二次型.

选项

答案因为f=XTAX经过正交变换后的标准形为f=y12+y22-2y32,所以矩阵A的特征值为λ12=1,λ3=-2.由|A|=λ1λ2λ3=-2得A*的特征值为μ12=-2,μ3=1,从而A*+2E的特征值为0,0,3,即α1,为A*+2E的属于特征值3的特征向量,故也为A的属于特征值λ3=-2的特征向量. 令A的属于特征值λ12=1的特征向量为α=[*],因为A为实对称矩阵,所以有α1Tα=0,即x1+x3=0,故矩阵A的属于λ12=1的特征向量为 [*] 令P=(α2,α3,α1)=[*],由P-1AP=[*],得 A=[*],所求的二次型为 f=XTAX=[*]x12+x22-[*]x32-3x1x3

解析
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