2. 考研
  3. 设区域Ω是由圆锥面x2+y2=z2和平面z=1围成的立体，则积分I=(x2+y2)dv=________．

设区域Ω是由圆锥面x2+y2=z2和平面z=1围成的立体，则积分I=(x2+y2)dv=________．

admin2022-07-21  35
问题 设区域Ω是由圆锥面x2+y2=z2和平面z=1围成的立体，则积分I=(x2+y2)dv=________．
选项
答案π/10
解析 方法一  圆锥面方程x2+y2=z2可化为z=ρ．将Ω投影xOy平面内，得圆域D：0≤θ≤2π，0≤ρ≤1，在D内任取一点，作平行于z轴的直线交Ω于上下两个曲面，ρ≤z≤1，故Ω表示为：Ω：0≤θ≤2π，0≤ρ≤1，ρ≤z≤1，于是
    I=(x2+y2)dv=∫02πdθ∫01ρ3dρ∫ρ1dz=2π∫01ρ3(1-ρ)dρ=π/10
    方法二  将Ω投影xOy平面内，得圆域，故0≤θ≤2π，在[0，2π]内任取一角，作过z轴的半平面交Ω，故φ的取值范围[0，π/4]，再在[0，π/4]内任取一角，作从原点出发的射线，穿进r=0，穿出r=1/cosφ，可得0≤r≤1/cosφ，于是区域Ω可表示为Ω：0≤θ≤2π，0≤φ≤π/4，0≤r≤4/cosφ，故
    I=(x2+y2)dv=∫02πdθ∫0π/4dφ∫01/cosφr2sin2φr2sinφdr=∫0π/4tan3φ·sec2φdρ=π/10
    方法三  做平行于xOy坐标面的平面截空间区域Ω所得的平面区域Dz，于是
    I=(x2+y2)dv=∫01dz(x2+y2)dxdy=∫01dz∫02πdθ∫0zρ3dρ=π/10
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考研数学二

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