2. 考研
  3. 设齐次线性方程组(2E－A)χ＝0有通解χ＝kξ＝k(－1，1，1)T，k是任意常数，其中A是二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χTAχ对应的矩阵，且r(A)＝1． (I)求方程组Aχ＝0的通解． (Ⅱ)求二次型f(χ1，χ2，χ3)．

设齐次线性方程组(2E－A)χ＝0有通解χ＝kξ＝k(－1，1，1)T，k是任意常数，其中A是二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χTAχ对应的矩阵，且r(A)＝1． (I)求方程组Aχ＝0的通解． (Ⅱ)求二次型f(χ1，χ2，χ3)．

admin2019-08-11  39
问题 设齐次线性方程组(2E－A)χ＝0有通解χ＝kξ＝k(－1，1，1)T，k是任意常数，其中A是二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χTAχ对应的矩阵，且r(A)＝1．
    (I)求方程组Aχ＝0的通解．
    (Ⅱ)求二次型f(χ1，χ2，χ3)．
选项
答案(Ⅰ)A是二次型的对应矩阵，故AT＝A，由(2E－A)χ＝0有通解χ＝Kξ1＝k(－1，1，1)T，知A有特征值λ1＝2，且A的对应于λ1＝2的线性无关的特征向量为ξ1＝(－1，1，1)T． 由于r(A)＝1，故知λ＝0是A的二重特征值．Aχ＝0的非零解向量即是A的对应于λ＝0的特征向量． 设λ2＝λ3＝0所对应的特征向量为ξ＝(χ1，χ2，χ3)T，由于实对称矩阵不同特征值对应的特征向量相互正交，故ξ与ξ1相互正交． 由ξ1Tξ＝－χ1＋χ2＋χ3＝0，解得ξ2＝(1，1，0)T，ξ3＝(1，0，1)T． 故方程组Aχ＝0的通解为k2ξ2＋k3ξ3，k2，k3为任意常数． (Ⅱ)求二次型即是求其对应矩阵． P＝(ξ1，ξ2，ξ3)＝[*]为可逆矩阵，且P-1＝[*] 则[*] 故二次型为f(χ1，χ2，χ3)＝[*]
解析
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考研数学二

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