设数列{xn}满足：x1＞0，(n=1，2，…)．证明{xn}收敛，并求

admin2018-03-26 56

问题设数列{x_n}满足：x₁＞0，

(n=1，2，…)．证明{x_n}收敛，并求

选项

答案设f(x)=e^x一1一x(x＞0)，则有 f’(x)=e^x一1＞0，因此f(x)＞f(0)=0，[*] 从而[*]可知x₂＞0．猜想x_n＞0，现用数学归纳法证明．当n=1时，x₁＞0，成立；假设当n=k(k=2，3，…)时，有x_k＞0，则n=k+1时，有 [*] 从而得知无论n取任何自然数，都有x_n＞0，即数列{x_n}有下界．又x_n+1一x_n=[*]设g(x)=e^x一1一xe^x．当x＞0时，g’(x)=e^x一e^x一xe^x=一xe^x＜0．因此g(x)单调递减，g(x)＜g(0)=0，即有e^x-1＜xe^x，因此x_n+1一x_n=[*]＜ln1=0，可知数列{x_n}单调递减．由单调有界准则可知数列{x_n}收敛．设[*]，则有Ae^A=e^A一1(A≥0)．可知A=0是该方程的解．因为当x＞0时，g(x)=e^x一1一xe^x＜g(0)=0．因此A=0是方程Ae^A=e^A一1唯一的解．故[*]

解析

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考研数学二

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