设，正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵，若Q的第1列为，求a，Q．

admin2021-01-19 28

问题设

，正交矩阵Q使得Q^TAQ为对角矩阵，若Q的第1列为

，求a，Q．

选项

答案记[*]．由 Aα₁＝λ₁α₁，即[*] 得a＝－1，λ＝2，因此[*] 由｜λE－A｜＝[*] ＝(λ＋4)(λ－2)(λ－5)＝0．得A的特征值为 λ₁＝2，λ₂＝－4，λ₃＝5，且对应于λ₁＝2的特征向量为 [*] 当λ₂＝－4时，(－4E－A)＝[*] 由(－4E—A)x＝0得对应于λ₂＝－4的特征向量为 α₂＝(－1，0，1)^T．当λ₃＝5时，(5E—A)＝[*] 由(5E—A)x＝0得对应于A。一5的特征向量为α₃＝(1，－1，1)^T．将α₁，α₂，α₃单位化得：[*] 因A为实对称矩阵，α₁，α₂，α₃为对应于不同特征值的特征向量，所以η₁，η₂，η₃为单位正交向量组．令Q＝(η₁，η₂，η₃)＝[*]，则Q为正交矩阵，Q^TAQ＝[*]。

解析本题考查实对称矩阵的正交对角化问题．由Q的列向量都是特征向量可得a的值以及对应的特征值，然后由A可求出其另外两个线性无关的特征向量，从而最终求出Q．

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考研数学二

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设，正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵，若Q的第1列为，求a，Q．

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[*]

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