2. 考研
  3. 已知α1=(1，4，0，2)T，α2=(2，7，1，3)T，α3=(0，1，一1，a)T，β=(3，10，b，4)T，问： a，b取何值时，β可由α1，α2，α3线性表示，并写出此表达式。

已知α1=(1，4，0，2)T，α2=(2，7，1，3)T，α3=(0，1，一1，a)T，β=(3，10，b，4)T，问： a，b取何值时，β可由α1，α2，α3线性表示，并写出此表达式。

admin2018-04-12  33
问题 已知α1=(1，4，0，2)T，α2=(2，7，1，3)T，α3=(0，1，一1，a)T，β=(3，10，b，4)T，问：
a，b取何值时，β可由α1，α2，α3线性表示，并写出此表达式。
选项
答案当b=2，a≠1时，r(A)=[*]=3，线性方程组Ax=β有唯一解，下面求此唯一解。 由以上增广矩阵变换可得线性方程组Ax=β的同解方程组为[*]解得唯一解为 x=(一1，2，0)T。故β能由α1，α2，α3线性表出为β=一α1+2α2。 当b=2，a=1时，r(A)=[*]=2＜3，线性方程组Ax=β有无穷多解。求齐次线性方程组Ax=0的基础解系。 齐次线性方程组Ax=0的同解方程组为[*]基础解系所含向量的个数为n一r(A)=3—2=1，选x2为自由未知量，取x2=1，解得基础解系为ξ=(一2，1，1)T。取x3=0，解得的一个特解为η*=(一1，2，0)T，则由非齐次线性方程组解的结构可知，方程组Ax=β的通解为 x=kξ+η*=(一2k一1，k+2，k)T，k是任意常数。 则β能由α1，α2，α3线性表出，且表示法为无穷多(常数k可以任意)，且 β=一(2k+1)α1+(k+2)α2+kα3。
解析
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考研数学二

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