设函数f(x)在x=x0的某邻域U内存在连续的二阶导数. (I)设当h>0,(x0-h)∈U,(x0﹢h)∈U,恒有 f(x0)

admin2019-06-29  37

问题 设函数f(x)在x=x0的某邻域U内存在连续的二阶导数.
(I)设当h>0,(x0-h)∈U,(x0﹢h)∈U,恒有
f(x0)<f(x0﹢h)﹢f(x0-h)],    (*)
证明f(x0)≥0;
(Ⅱ)如果(x0)﹥0,证明必存在h﹥0,(x0-h)∈U,(x0﹢h)∈U,使(*)式成立.

选项

答案(I)由条件,当h>0充分小,(x0±h)∈U,有 f(x0﹢h)-f(x0)﹢f(x0﹣h)-f(x0)>0. 则由拉格朗日中值定理,有 f2)h﹢f1)(-h)﹥0, 其中x0-h<ξ1<x0﹤ξ2<x0﹢h.又因为h>0,得 f2)-f1)>0. 再在区间[ξ1,ξ2]上用拉格朗日中值定理,有 f(ξ)(ξ2-ξ1)﹥0, 其中x0-h<ξ1<ξ2<x0﹢h.由此推得f(ξ)>0.再令h→0,得ξ→x3,并且得f(x0)≥0. 证毕. (Ⅱ)由题设f(x)在x=x0的邻域U内连续,且f(x0)>0,故存在h>0,使x0-h,x0﹢h][*]U且在区间[x0-h,x0﹢h]内f(x)>0.将f(x)按(x-x0)的幂展开的泰勒公式,有 f(x)=f(x0)﹢f(x0)(x-x0)﹢[*]f(ξ)(x-x0)2 >f(x0)﹢f(x0)(x-x0), 其中ξ∈(x,x0)(或(x0,x)),x∈[x0-h,x0﹢h,x≠x0.取x=(x0﹢h)∈U,得 f(x0﹢h)﹥f(x0)﹢f(x0)h; 取x=(x0-h)∈U,得 f(x0-h)>f(x0)-f(x0)h. 从而有 f(x0﹢h)﹢f(x0-h)>2f(x0), 即f(x0)<[*][f(x0﹢h)﹢f(x0-h)],故(*)式成立.证毕.

解析
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