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  3. 设A是n阶矩阵，如对任何凡维向量b方程组Ax=b总有解，证明方程组A*x=b必有唯一解．

设A是n阶矩阵，如对任何凡维向量b方程组Ax=b总有解，证明方程组A*x=b必有唯一解．

admin2020-03-05  18
问题 设A是n阶矩阵，如对任何凡维向量b方程组Ax=b总有解，证明方程组A*x=b必有唯一解．
选项
答案记A=(α1，α2，…，αn)，因为对任一个n维向量b，方程组x1α1+x2α2+…+xnαn=b总有解，那么α1，α2，…，αn可以表示任一个n维向量．因此，α1，α2，…，αn可以表示n维单位向量ε1=(1，0，0，…，0)T，ε2=(0，1，0，…，0)T，…，εn=(0，0，0，…，1)T．从而向量组α1，α2，…，αn与ε1，ε2，…，εn等价，所以秩r(α1，α2，…，αn)=n，即有｜A｜≠0．于是｜A*｜=｜A｜n－1≠ 0．由克莱姆法则可知A*x=b必有唯一解．
解析
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考研数学一

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