证明:若f(x),g(x)都是可微函数,且z≥a时,∣f′(x)∣≤g′(x),则当x≥a时,∣f(x)―f(a)∣≤g(x)―g(a).

admin2015-12-22  30

问题 证明:若f(x),g(x)都是可微函数,且z≥a时,∣f′(x)∣≤g′(x),则当x≥a时,∣f(x)―f(a)∣≤g(x)―g(a).

选项

答案为证g(x)一g(a)≥f(x)一f(a),即证 g(x)一f(x)≥g(a)一f(a). 需作辅助函数φ(x)=g(x)一f(x),对φ(x)在[a,x]上使用拉格朗日中值定理.为证 一[g(x)一g(a)]≤f(x)一f(a), 即证 f(x)+g(x)≥f(a)+g(a). 需作辅助函数ψ(x)=f(x)+g(x),对ψ(x)在[a,x]上使用拉格朗日中值定理. 证 令φ(x)=g(x)一f(x),由拉格朗日中值定理得 φ(x)一φ(a)=φ′(ξ)(x一a), a<ξ<x. 当x≥a时,由于 ∣f′(x)∣≤g′(x), 则 一g′(x)≤f′(x)≤g′(x), 于是 φ′(ξ)=g′(ξ)一f′(ξ)≥0. 所以当x≥a时, φ(x)一φ(a)≥0, 即 g(x)一f(x)一[g(a)一f(a)]≥0, 则 g(x)一g(a)≥f(x)一f(a) (x≥a). ① 又令ψ(x)=g(x)+f(x),由拉格朗日中值定理得 ψ(x)一ψ(a)=ψ′(ξ)(x一a), a<ξ<x. 当x≥a时,由于 ∣f′(x)∣≤g′(x), 则 f′(x)+g′(x)≥0, 于是 ψ′(ξ)≥0. 故当x≥a时, ψ(x)一ψ(a)≥0, 即 g(x)+f(x)一[g(a)+f(a)]≥0. 所以,当x≥a时, g(x)一g(a)≥一[f(x)一f(a)], 即 f(x)一f(a)≥一[g(x)一g(a)]. ② 综合式①、式②得 ∣f(x)一f(a)∣≤g(x)一g(a).

解析
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