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  3. 设函数f(x)具有二阶导数，g(x)=f(0)(1－x)+f(1)x，则在[0，1]上( )．

设函数f(x)具有二阶导数，g(x)=f(0)(1－x)+f(1)x，则在[0，1]上( )．

admin2020-05-02  15
问题 设函数f(x)具有二阶导数，g(x)=f(0)(1－x)+f(1)x，则在[0，1]上(    )．
选项 A、当f′(x)≥0时，f(x)≥g(x)
B、当f′(x)≥0时，f(x)≤g(x)
C、当f(x)≥0时，f(x)≥g(x)
D、当f(x)≥0时，f(x)≤g(x)
答案D
解析 方法一  由曲线凹凸性的判定定理可知，当f"(x)≥0时，曲线y=f(x)是凹的．再由凹凸性的定义可知，对于区间上任意两点x1，x2及常数0≤λ≤1，恒有
              f[(1－λ)x1+λx2]≤(1－λ)f(x1)+λf(x2)
    令x1=0，x2=1，λ=x，那么
              fx)=f[(1－λ)x1+λx2]≤(1－λ)f(x1)+λf(x2)=f(0)(1－x)+f(1)x=g(x)
也就是f(x)≤g(x)．
    方法二  令    F(x)=f(x)－g(x)=f(x)－f(0)(1－x)－f(1)x
于是F(0)=F(1)=0，且F"(x)=f"(x)，故当f"(x)≥0时，曲线y=F(x)是凹的，此时，x∈[0，1]，即F(x)=f(x)一g(x)≤0，也就是f(x)≤g(x)．
    方法三  由已知，得
      f(x)－g(x)=f(x)－f(0)(1－x)－f(1)x
                =(1－x)[f(x)－f(0)]+x[f(x)－f(1)]
                =(1－x)xf′(ξ1)+x(x－1)f′(ξ2)    (ξ1∈(0，x)，ξ2∈(x，1))
                =(1－x)x[f′(ξ1)－f′(ξ2)]
                =(1－x)x(ξ1－ξ2)f"(ξ)≤0    (ξ∈(ξ1，ξ 2))
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