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  3. 假设D是矩阵A的，r阶子式，且D≠0，但含D的一切r+1阶子式都等于0．那么矩阵A的一切r+1阶子式都等于0． 【 】

假设D是矩阵A的，r阶子式，且D≠0，但含D的一切r+1阶子式都等于0．那么矩阵A的一切r+1阶子式都等于0． 【 】

admin2021-01-25  48
问题 假设D是矩阵A的，r阶子式，且D≠0，但含D的一切r+1阶子式都等于0．那么矩阵A的一切r+1阶子式都等于0．    【    】
选项
答案“是”．
解析 证  在题设条件下可以证明A的秩为r，故A中一切r+1阶子式都为0．
    证明A的秩为r的方法不是唯一的，下面利用“初等变换不改变矩阵的秩”来证明A的秩为r，设A= (αij)m×n满足题设条件，不失一般性，设r＜m≤n，并设A的非零的r阶子式D位于A的左上角，即
   
由题设，A的左上角的r+1阶子式(它含D)
   
故Dr+1的行向量组线性相关，而Dr+1的前r行线性无关，所以Dr+1的第r+1行可由前r行线性表示．因此，通过把A的前r行的适当倍数加到A的第r+1行，就可把A化成
   
由行列式的性质知上面化成矩阵的前r+1行中的一切r+1阶子式都是A的相应子式．因此前r+1行中含D的子式都为0，于是有α′r+1，r+1=…α′r+1，n=0，即经上述初等变换已将A的第r+1行化成了零行，同理可通过初等行变换将A的第r+2，…，第m行都化成零行，即经若干次初等行变换可将A化成
     由于D≠0，故B中非零子式的最高阶数为r，即B的秩为r，故A的秩为r．
本题主要考查矩阵的秩的概念．注意证明中利用了“对于方阵P，∣P∣≠0<=>P的行(列)向量组线性无关；换句话说就是：∣P∣=0甘P的行(列)向量组线性相关”．
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考研数学三

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