已知二次型f(x1,x2,x3)=5x12+5x22+ax32-2x1x2+6x1x3-6x2x3的秩为2.(1)求参数a以及此二次型对应矩阵的特征值;(2)(数学一)指出方程f(x1,x2,x3)=1表示何种二次曲面.

admin2020-06-05  35

问题 已知二次型f(x1,x2,x3)=5x12+5x22+ax32-2x1x2+6x1x3-6x2x3的秩为2.(1)求参数a以及此二次型对应矩阵的特征值;(2)(数学一)指出方程f(x1,x2,x3)=1表示何种二次曲面.

选项

答案(1)此二次型f的矩阵为 A=[*] 由于二次型f的秩为2,即矩阵A的秩为2,故而 |A|=[*]=24(a-3)=0 从而a=3. 又当a=3时,矩阵A的特征多项式 |A-AE|=[*]=﹣λ(λ-4)(λ-9) 所以A的特征值为λ1=0,λ2=4,λ3=9. (2)因为A的特征值为λ1=0,λ2=4,λ3=9,所以必存在正交变换 [*](其中P为正交矩阵) 使二次型在新变量y1,y2,y3下成为标准形f=4y22+9y32,于是,曲面f(x1,x2,x3)=1在新变量下的方程为4y22+9y32=1,此方程在几何上表示准线是y2Oy31平面上椭圆、母线平行于y1轴的椭圆柱面,因此f(x1,x2,x3)=1也表示椭圆柱面.

解析
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