已知三元二次型χTAχ的秩为2,且 求此二次型的表达式,并求正交变换χ=Qy化二次型为标准形.

admin2016-05-09  21

问题 已知三元二次型χTAχ的秩为2,且

    求此二次型的表达式,并求正交变换χ=Qy化二次型为标准形.

选项

答案二次型χTAχ的秩为2,即r(A)=2,所以λ=0是A的特征值. [*] 所以3是A的特征值,(1,2,1)T是与3对应的特征向量;-1也是A的特征值,(1,-1,1)T是与-1对应的特征向量. 因为实对称矩阵禾同特征值的特征向量相互正交,设λ=0的特征向量是(χ1,χ2,χ3)T,则有 [*] 由方程组[*]解出λ=0的特征向量是(1,0,-1)T. [*] 因此,χAχ=[*](χ12+10χ22+χ32+16χ1χ2+2χ1χ3+16χ2χ3), 令[*] 则经正交坐标变换χ=Qy,有χTAχ=yT∧y=3y12-y32

解析
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