证明:二次型f(x)=xTAx在||x||=1时的最大值为矩阵A的最大特征值。

admin2020-03-05  15

问题 证明:二次型f(x)=xTAx在||x||=1时的最大值为矩阵A的最大特征值。

选项

答案A为实对称矩阵,则存在正交矩阵Q,使得 QAQ-1=diag(λ1,λ2,…,λn)=A, 其中λ1,λ2,…,λn为A的特征值,不妨设λ1最大。 作正交变换y=Qx,即X=Q-1y=QTy,则 f=xTAx=yTQAQTy=yTΛy=[*], 因为y=Qx,所以当||x||=1时,有 ||x||2=xTx=yTQQTy=||y||2=1, [*] 又当y1=1,y2=y3=…=yn=0时,f=λ1,所以fmax1

解析
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