[2006年] 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和为3,向量α1=[一1,2,一1]T,α2=[0,一1,1]T都是齐次方程组AX=0的解. (1)求A的特征值和特征向量;(2)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得QTAQ=A.

admin2019-05-10  51

问题 [2006年]  设3阶实对称矩阵A的各行元素之和为3,向量α1=[一1,2,一1]T,α2=[0,一1,1]T都是齐次方程组AX=0的解.
(1)求A的特征值和特征向量;(2)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得QTAQ=A.

选项

答案认真分析题设条件,在A未知的情况下也能求出其特征值和特征向量.在此基础上将所求得的特征向量正交化,单位化即得Q. (1)由题设有A[1,1,1]T=[3,3,3]T=3[1,1,1]T,则λ0=3为A的特征值,α0=[1,1,1]T为A的属于λ0=3的特征向量(见命题2.5.1.4),于是A的属于特征值3的所有特征向量为k0α00为非零的任意常数). 又α1,α2为AX=0的非零解向量,故Aα1=0=0·α1,因而α1为A的属于特征值λ1=0的特征向量.同法可知,α2也是A的属于特征λ2=0的特征向量.因α1,α2线性无关,故A的属于特征值0的所有特征向量为k1α1+k2α2(k1,k2不全为零). (2)因0为A的二重特征值.现将属于多重特征值的特征向量α1,α2正交化(因α1,α2不正交),使用施密特正交化的方法,得到 β11, β22一[*] 则β1,β2正交.显然α0与β1,β2都正交,因它们是实对称矩阵不同特征值的特征向量. 下面将α0,β1,β2单位化,得到 [*] 令Q=[η0,η1,η2],则Q为正交矩阵,且有 QTAQ=Q-1AQ=diag(3,0,0)=A. ①

解析
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