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f(x)在闭区间[0，c]上连续，其导函数f’(x)在开区间(0，c)内存在且单调递减，f(0)=0. 运用拉格朗日中值定理证明不等式f(a+b)≤f(a)+f(b)，其中常数a，b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c。
f(x)在闭区间[0，c]上连续，其导函数f’(x)在开区间(0，c)内存在且单调递减，f(0)=0. 运用拉格朗日中值定理证明不等式f(a+b)≤f(a)+f(b)，其中常数a，b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c。
admin
2022-08-12
32
问题
f(x)在闭区间[0，c]上连续，其导函数f’(x)在开区间(0，c)内存在且单调递减，f(0)=0.
运用拉格朗日中值定理证明不等式f(a+b)≤f(a)+f(b)，其中常数a，b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c。
选项
答案
当a=0时，f(0)=0有f(a+b)=f(b)=f(a)+f(b)。 当a＞0时，在[0，a]和[b，a+b]上分别运用拉格朗日中值定理，有 f’(ξ
1
)=[f(a)-f(0)]/(a-0)=f(a)/a，ξ
1
∈(0，a)， f’(ξ
2
)=[f(a+b)-f(b)]/(a+b-b)=[f(a+b)-f(b)]/a，ξ
2
∈(b，a+b)， 显然，0＜ξ
1
＜a≤b＜ξ
2
＜a+b≤c，因为f’(x)在(0，c)内单调递减，所以f’(ξ
2
)≤f’(ξ
1
)，从而有[f(a+b)-f(b)]/a≤f(a)/a，又a＞0，所以有f(a+b)≤f(a)+f(b)。
解析
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数学学科知识与教学能力题库教师资格分类
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数学学科知识与教学能力
教师资格
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