设α1,α2,…,αs是n维向量组,r(α1,α2,…,αs)=r,则( )不正确.

admin2019-01-14  25

问题 设α1,α2,…,αs是n维向量组,r(α1,α2,…,αs)=r,则(  )不正确.

选项 A、如果r=n,则任何n维向量都可用α1,α2,…,αs线性表示.
B、如果任何n维向量都可用α1,α2,…,αs线性表示,则r=n.
C、如果r=s,则任何n维向量都可用α1,α2,…,αs唯一线性表示.
D、如果r<n,则存在n维向量不能用α1,α2,…,αs线性表示.

答案C

解析 利用“用秩判断线性表示”的有关性质.
    当r=n时,任何n维向量添加进α1,α2,…,αs时,秩不可能增大,从而(A)正确.
    如果(B)的条件成立,则任何n维向量组β1,β2,…,βt都可用α1,α2,…,αs线性表示,从而r(β1,β2,…,βt)≤r(α1,α2,…,αt).如果取β1,β2,…,βn是一个n阶可逆矩阵的列向量组,则得
    n=r(β1,β2,…,βn)≤r(α1,α2,…,αs)≤n,从而r(α1,α2,…,αs)=n,(B)正确.
    (D)是(B)的逆否命题,也正确.
    由排除法,得选项应该为(C).下面分析为什么(C)不正确.
    r=s只能说明α1,α2,…,αs线性无关,如果r<n,则用(B)的逆否命题知道存在n维向量不可用α1,α2,…,αs线性表示,因此(C)不正确.
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