[2011年] 设函数z=f(xy,yg(x)),其中函数f具有二阶连续偏导数,函数g(x)可导且在x=1处取得极值g(1)=1.求.

admin2019-04-05  92

问题 [2011年]  设函数z=f(xy,yg(x)),其中函数f具有二阶连续偏导数,函数g(x)可导且在x=1处取得极值g(1)=1.求.

选项

答案先求[*],再将x=1,g(1)=1,g′(1)=0代入得到[*],然后由[*] 对y求偏导,最后将y=1代入即得[*] 也可先求[*],再将[*]对y求偏导,即得[*],最后将x=1,y=1代入. 解一 令u=xy,v=yg(x),因在x=1处g(x)取得极值g(1)=1,故g′(1)=0. [*]=yf′1(xy,yg(x))+yg′(x)f′2(xy,yg(x)). ① 将x=1,g(1)=l,g′(1)=0代入上式,得到 [*]=yf′1(y,yg(1))+yg′(1)f′2(y,yg(1))=y′1(y,y). ② 再在式②两边对y求导数得到 [*][yf′1(y,y)]=f′1(y,y)+yf″12(y,y)+yf″12(y,y). 将y=1代入上式即得 [*]=f′1(1,1)+f″11(1,1)+f″12(1,1). 解二 在解一中式①两边对y求偏导得到 [*] =f′1+y[*]+g′(x)f′2+yg′(x)[*] =f′1+xyf″11+g(x)f″12+g′(x)f′2+yg′(x)[xf″21+g(x)f″22]. 因在x=1处g(x)取得极值g(1)=1,故g′(1)=0.代入上式得到 [*]=f′1(1,1)+f″11(1,1)+g(1)f″12(1,1)+g′(1)f′2(1,1)+yg′(1)[f″21(1,1)+g(1),f″22(1,1)] =f′1(1,1)+f″12(1,1)+f2(1,1)+0+0 =f′1(1,1)+f″11(1,1)+f″12(1,1).

解析
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