2. 考研
  3. 设A为n阶实对称矩阵，r(A)=n，Aij是A=(aij)n×n中元素aij的代数余子式(i，j=1，2，…n)，二次型f(x1，x2，…，xn)=xixj。 (Ⅰ)记xT=(x1，x2，…，xn)，把f(x1，x2，…，xn)=xixj。写成矩阵

设A为n阶实对称矩阵，r(A)=n，Aij是A=(aij)n×n中元素aij的代数余子式(i，j=1，2，…n)，二次型f(x1，x2，…，xn)=xixj。 (Ⅰ)记xT=(x1，x2，…，xn)，把f(x1，x2，…，xn)=xixj。写成矩阵

admin2018-04-18  31
问题 设A为n阶实对称矩阵，r(A)=n，Aij是A=(aij)n×n中元素aij的代数余子式(i，j=1，2，…n)，二次型f(x1，x2，…，xn)=xixj。
    (Ⅰ)记xT=(x1，x2，…，xn)，把f(x1，x2，…，xn)=xixj。写成矩阵形式，并证明二次型f(x)的矩阵为A-1；
    (Ⅱ)二次型g(x)=xTAx与f(x)的规范形是否相同?说明理由。
选项
答案(Ⅰ)由题设条件， [*] 其中(*)的理由：A是可逆的实对称矩阵，故(A-1)T=(AT)-1=A-1，因此由实对称的定义知，A-1也是实对称矩阵，又由伴随矩阵的性质A*A=｜A｜E，知A*=｜A｜A-1，因此A*也是实对称矩阵，[*]=A*，故(*)成立。 (Ⅱ)因为(A-1)TAA-1=(AT)-1E=A-1，所以由合同的定义知A与A-1合同。 由实对称矩阵A与B合同的充要条件：二次型xTAx与xTBx有相同的正、负惯性指数。 可知，g(x)=xTAx与f(x)有相同的正、负惯性指数，故它们有相同的规范形。
解析
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考研数学三

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