已知β可用α1，α2，…，αs线性表示，但不可用α1，α2，…，αs-1线性表示．证明 (1)αs不可用α1，α2，…，αs-1线性表示； (2)αs可用α1，α2，…，αs-1，β线性表示．

admin2018-11-20 27

问题已知β可用α₁，α₂，…，α_s线性表示，但不可用α₁，α₂，…，α_s-1线性表示．证明
(1)α_s不可用α₁，α₂，…，α_s-1线性表示；
(2)α_s可用α₁，α₂，…，α_s-1，β线性表示．

选项

答案方法一由于β可用α₁，α₂，…，α_s线性表示，可设有表示式 β=k₁α₁+k₂α₂+…+k_sα_s (I) (1)用反证法如果α_s可用α₁，α₂，…，α_s-1线性表示；设α_s=t₁α₁+t₂α₂+…+t_s-1α_s-1，代入(I)式得β用α₁，α₂，…，α_s-1线性表示式： β=(k₁+t₁)α₁+(k₂+t₂)α₂+…+(k_s-1+t_s-1)α_s-1，与条件矛盾． (2)(I)中的k_s≠0(否则β可用α₁，α₂，…，α_s-1线性表示)．于是有 [*] 方法二 r(α₁，α₂，…，α_s，β)=r(α₁，α₂，…，α_s)，r(α₁，α₂，…，α_s-1，β)=r(α₁，α₂，…，α_s-1)+1 于是有 r(α₁，α₂，…，α_s)=r(α₁，α₂，…，α_s，β)≥r(α₁，α₂，…，α_s-1，β) =r(α₁，α₂，…，α_s-1)+1≥r(α₁，α₂，…，α_s) 从而其中两个“≥”号都为等号．于是 r(α₁，α₂，…，α_s-1)+1=r(α₁，α₂，…，α_s) 因此，α_s不可用α₁，α₂，…，α_s-1线性表示． r(α₁，α₂，…，α_s，β)=r(α₁，α₂，…，α_s-1，β)，因此，α_s可用α₁，α₂，…，α_s-1，β线性表示．

解析

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考研数学三

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已知β可用α1，α2，…，αs线性表示，但不可用α1，α2，…，αs-1线性表示．证明 (1)αs不可用α1，α2，…，αs-1线性表示； (2)αs可用α1，α2，…，αs-1，β线性表示．

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