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设f(x)在[a,b上二阶可导且f"(x)>0,证明:f(x)在(a,b)内为凹函数.
设f(x)在[a,b上二阶可导且f"(x)>0,证明:f(x)在(a,b)内为凹函数.
admin
2021-10-18
26
问题
设f(x)在[a,b上二阶可导且f"(x)>0,证明:f(x)在(a,b)内为凹函数.
选项
答案
对任意的x
1
,x
2
∈(a,b)且x
1
≠x
2
,取x
0
=(x
1
+x
2
)/2,由泰勒公式得f(x)=f(x
0
)+f’(x
0
)(x-x
0
)+f"(ξ)/2!(x-x
0
)
2
,其中ξ介于x
0
与x之间.因为f"(x)>0,所以f(x)≥f(x
0
)+f’(x
0
)(x-x
0
),“=”成立当且仅当“x=x
0
”,从而[*]两式相加得f(x
0
)<[f(x
1
)+f(x
2
)]/2,即f(x
1
+x
2
/2)<[f(x
1
)+f(x
2
)]/2,由凹函数的定义,f(x)在(a,b)内为凹函数.
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/etlRFFFM
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