设n阶矩阵A满足(aE—A)(bE—A)=O且a≠b．证明：A可对角化．

admin2018-04-15 22

问题设n阶矩阵A满足(aE—A)(bE—A)=O且a≠b．证明：A可对角化．

选项

答案由(aE—A)(bE—A)=0，得|aE—A|．|bE—A|=0，则|aE—A|=0或者|bE—A|=0．又由(aE—A)(bE—A)=0，得r(aE—A)+r(bE—A)≤n. 同时r(aE—A)+r(bE—A)≥r[(aE—A)一(bE—A)]=r[(a一b)E]=n．所以r(aE—A)+r(bE—A)=n． (1)若|aE—A|≠0，则r(aE—A)=n，所以r(bE—A)=0，故A=bE． (2)若|bE—A|≠0，则r(bE—A)=n，所以r(aE—A)=0，故A=aE． (3)若|aE—A|=0且|bE—A|=0，则a，b都是矩阵A的特征值．方程组(aE—A)X=0的基础解系含有n～r(aE—A)个线性无关的解向量，即特征值a对应的线性无关的特征向量个数为n一r(aE—A)个；方程组(bE—A)X=0的基础解系含有n一r(bE—A)个线性无关的解向量，即特征值b对应的线性无关的特征向量个数为n一r(bE—A)个．因为n一r(aE—A)+n一r(bE—A)=n．所以矩阵A有n个线性无关的特征向量，所以A一定可以对角化．

解析

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考研数学三

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