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  3. 设a,b＞0,反常积分∫0+∞dx收敛，则（ ）。

设a,b＞0,反常积分∫0+∞dx收敛，则（ ）。

admin2021-07-15  25
问题 设a,b＞0,反常积分∫0+∞dx收敛，则（     ）。
选项 A、a＜1且b＞1
B、a＞1且b＞1
C、a＜1且a+b＞1
D、a＞1且a+b＞1
答案C
解析 ①∫01dx:
②∫1+∞dx:
对于①,盯着x→0+,xp的次数：
p≥1时，xp趋于0的速度过快，其倒数趋于+∞的速度亦过快，积分发散；
0＜p＜1时，xp趋于0的速度不快，其倒数趋于+∞的速度亦不快，积分收敛。
懂得了以上道理，便可有所发挥。如当x→0+时，sinx～x,这意味着sinx与x趋于0的速度一样，故∫01dx（有时命制成)依然满足

事实上，凡是与x趋于0的速度一样的函数f(x)均可如上讨论。
对于②，盯着x→+∞时，xp的次数：
p＞1时，xp趋于+∞的速度是够快，其倒数趋于0的速度亦够快，积分收敛；
P≤1时，xp趋于+∞的速度不够快，其倒数趋于0的速度亦不够快，积分发散。
这里的发挥简单些，如当x→+∞且a＞0时，ax+b亦趋于+∞，与x趋于+∞的速度一样。
当ax+b≥k＞0时，∫1+∞依然满足
于是对于此题，
∫1+∞dx=∫01dx+∫1+∞dx=I1+I2
对于I1，盯着x→0+看，此时2020+x→2020+，不是无穷小量，故只要看xa即可，即I1与∫01dx同敛散，于是可知a＜1；
对于I2，盯着x→0+看，此时2020+x→+∞，且与x→+∞的速度一样，I2与∫1+∞dx=∫1+∞dx同敛散，于是可知a+b＞1
综上所述，a＜1且a+b＞1，故选C.
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考研数学二

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