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  3. 设α1，α2，…，αs是n维向量组，r(α1，α2，…，αs)=r，则( )不正确．

设α1，α2，…，αs是n维向量组，r(α1，α2，…，αs)=r，则( )不正确．

admin2020-03-01  25
问题 设α1，α2，…，αs是n维向量组，r(α1，α2，…，αs)=r，则(    )不正确．
选项 A、如果r=n，则任何n维向量都可用α1，α2，…，αs线性表示．
B、如果任何n维向量都可用α1，α2，…，αs线性表示，则r=n．
C、如果r=s，则任何n维向量都可用α1，α2，…，αs唯一线性表示．
D、如果r＜n，则存在n维向量不能用α1，α2，…，αs线性表示．
答案C
解析 利用“用秩判断线性表示”的有关性质．
    当r=n时，任何n维向量添加进α1，α2，…，αs时，秩不可能增大，从而A正确．
    如果B的条件成立，则任何n维向量组β1，β2，…，βt都可用α1，α2，…，αs线性表示，从而r(β1，β2，…，βt)≤r(α1，α2，…，αs)．如果取β1，β2，…，βn是一个n阶可逆矩阵的列向量组，则得
    n=r(β1，β2，…，βn)≤r(α1，α2，…，αs)≤n，
从而r(α1，α2，…，αs)=n，B正确．
    D是B的逆否命题，也正确．
    由排除法，得选项应该为C．下面分析为什么C不正确．
    r=s只能说明α1，α2，…，αs线性无关，如果r＜n，则用B的逆否命题知道存在n维向量不可用α1，α2，…，αs线性表示，因此C不正确．
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考研数学二

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