已知A=,二次型f(x1,x2,x3)=xT(ATA)x的秩为2。 (Ⅰ)求实数a的值; (Ⅱ)求正交变换x=Qy,将f化为标准形。

admin2021-01-25  54

问题 已知A=,二次型f(x1,x2,x3)=xT(ATA)x的秩为2。
    (Ⅰ)求实数a的值;
    (Ⅱ)求正交变换x=Qy,将f化为标准形。

选项

答案(Ⅰ)ATA=[*],由r(ATA)=2,可得 [*]=(a+1)2(a2+3)=0, 可知a=一1。 (Ⅱ) f=xTATAx=(x1,x2,x3)[*] =2x12+2x22+4x32+4x1x2+4x3x3, 令矩阵 [*] 解得B矩阵的特征值为λ1=0;λ2=2;λ3=6。 对于λ1=0,解(λ1E—B)x=0得对应的特征向量为η1=[*]; 对于λ2=2,解(λ1E—B)x=0得对应的特征向量为η2=[*]; 对于λ3=6,解(λ3E—B)x=0得对应的特征向量为η3=[*]。 将η1,η2,η3单位化可得 [*] 令x=Qy可将原二次型化为2y22+6y32

解析
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