二次型f(x1,x2,x3)=2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a>0)经过正交变换化为标准形f=y12+2y22+5y32,求参数a及所用的正交变换。

admin2018-01-26  37

问题 二次型f(x1,x2,x3)=2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a>0)经过正交变换化为标准形f=y12+2y22+5y32,求参数a及所用的正交变换。

选项

答案二次型f的矩阵A=[*] 根据题意可知,矩阵A的三个特征值分别为λ1=1,λ2=2,λ3=5,于是由|A|=λ1λ2λ3可得2(9-a2)=10,解得a=2或-2(舍)。 当λ1=1时,解齐次线性方程组(E-A)x=0,得基础解系为ξ1=(0,1,-1)T; 当λ2=2时,解齐次线性方程组(2E-A)x=0,得基础解系为ξ2=(1,0,0)T; 当λ3=5时,解齐次线性方程组(5E-A)x=0,得基础解系为ξ3=(0,1,1)T。 因为ξ1,ξ2,ξ3已经是正交向量组,故只需将ξ1,ξ2,ξ3单位化,于是得 η1=[*],η2=(1,0,0)T,η3=[*] 令 Q=(η1,η2,η3)=[*] 则Q为正交矩阵,且在正交变换x=Qy下,有QTAQ=[*]

解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/eCVRFFFM
0

最新回复(0)