设A是一个可逆实对称矩阵，记Aij是它的代数余子式．二次型 f(x1，x2，…，xn)=xixj. (1)用矩阵乘积的形式写出此二次型． (2)f(x1，x2，…，xn)的规范形和XTAX的规范形是否相同?为什么?

admin2018-06-27 39

问题设A是一个可逆实对称矩阵，记A_ij是它的代数余子式．二次型
f(x₁，x₂，…，x_n)=

x_ix_j.
(1)用矩阵乘积的形式写出此二次型．
(2)f(x₁，x₂，…，x_n)的规范形和X^TAX的规范形是否相同?为什么?

选项

答案(1)由于A是实对称矩阵，它的代数余子式A_ij=A_ij，[*]，j，并且A^-1也是实对称矩阵，其(i，j)位的元素就是A_ij／｜A｜，于是f(x₁，₂，…，x_n)=X^TA^-1X． (2)A^-1的特征值和A的特征值互为倒数关系，因此A^-1和A的正的特征值的个数相等，负的特征值的个数也相等，于是它们的正，负惯性指数都相等，从而A^-1和A合同，f(x₁，x₂，…，x_n)和X^TAX有相同的规范形．

解析

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考研数学二

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设A是一个可逆实对称矩阵，记Aij是它的代数余子式．二次型 f(x1，x2，…，xn)=xixj. (1)用矩阵乘积的形式写出此二次型． (2)f(x1，x2，…，xn)的规范形和XTAX的规范形是否相同?为什么?

考研数学二

设x=Fcosθ，y=rsinθ．则直角坐标系xOy中的累次积分可化为极坐标系(r，θ)中的累次积分是____________．

设f(x)=x2eax在(0，+∞)内有最大值1，则α=_______．

已知函数y=y(x)满足微分方程x2+y2y’=1-y’，且y(2)=0，求y(x)的极大值与极小值．

曲线L的极坐标方程是r=θ，则L在点(r，θ)=(π/2，π/2)处的切线的直角坐标方程是__________．

设不定积分的结果中不含对数函数，求常数α，β，γ，δ应满足的充要条件，并计算此不定积分．

设证明：f(x，y)在点(0，0)处的两个偏导数fx’(0，0)与fy’(0,0)都存在，函数f(x,y)在点(0，0)处也连续；

设A为三阶矩阵，α1，α2，α3；是线性无关的三维列向量，且满足Aα1=α1，α2，α3；，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3．求矩阵A的特征值；

(2009年试题，一)若f’’(x)不变号，且曲线y=f(x)在点(1，1)上的曲率圆为x2+y2=2，则f(x)在区间(1，2)内()．

(2000年试题，八)设函f(x)在[0，π]上连续，且试证明：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0．

三元二次型f=XTAX经过正交变换化为标准形f=y12+y22-2y32，且A*+2E的非零特征值对应的特征向量为α1=，求此二次型．

下列关于西地那非应用注意事项的描述，错误的是

求微分方程yy"-y’2=0的通解．

"Congratulations,Mr.Jones,it’sagirl."Fatherhoodisgoingtohaveadifferentmeaningandbringforthadifferentrespo

对人类致病的兼性胞内菌不包括下列哪种细菌

绝热材料按(　　)划分，可分为纤维类、颗粒类和发泡类。

资产的计税基础，是指在企业收回资产账面价值过程中，计算应纳税所得额时按照税法规定可以自应税经济利益中抵扣的金额。()

在学生表中使用"照片"字段存放相片，当使用向导为该表创建窗体时，照片字段使用的默认控件是(　　)。

Forthispart,youareallowed30minutestowriteacompositiononthetopicMyViewpointonUnemploymentofCollegeGraduates.

设A是一个可逆实对称矩阵，记Aij是它的代数余子式．二次型 f(x1，x2，…，xn)=xixj. (1)用矩阵乘积的形式写出此二次型． (2)f(x1，x2，…，xn)的规范形和XTAX的规范形是否相同?为什么?

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设x=Fcosθ，y=rsinθ．则直角坐标系xOy中的累次积分可化为极坐标系(r，θ)中的累次积分是____________．

设f(x)=x2eax在(0，+∞)内有最大值1，则α=_______．

已知函数y=y(x)满足微分方程x2+y2y’=1-y’，且y(2)=0，求y(x)的极大值与极小值．

曲线L的极坐标方程是r=θ，则L在点(r，θ)=(π/2，π/2)处的切线的直角坐标方程是__________．

设不定积分的结果中不含对数函数，求常数α，β，γ，δ应满足的充要条件，并计算此不定积分．

设证明：f(x，y)在点(0，0)处的两个偏导数fx’(0，0)与fy’(0,0)都存在，函数f(x,y)在点(0，0)处也连续；

设A为三阶矩阵，α1，α2，α3；是线性无关的三维列向量，且满足Aα1=α1，α2，α3；，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3．求矩阵A的特征值；

(2009年试题，一)若f’’(x)不变号，且曲线y=f(x)在点(1，1)上的曲率圆为x2+y2=2，则f(x)在区间(1，2)内()．

(2000年试题，八)设函f(x)在[0，π]上连续，且试证明：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0．

三元二次型f=XTAX经过正交变换化为标准形f=y12+y22-2y32，且A*+2E的非零特征值对应的特征向量为α1=，求此二次型．

下列关于西地那非应用注意事项的描述，错误的是

求微分方程yy"-y’2=0的通解．

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对人类致病的兼性胞内菌不包括下列哪种细菌

绝热材料按( )划分，可分为纤维类、颗粒类和发泡类。

资产的计税基础，是指在企业收回资产账面价值过程中，计算应纳税所得额时按照税法规定可以自应税经济利益中抵扣的金额。()

在学生表中使用"照片"字段存放相片，当使用向导为该表创建窗体时，照片字段使用的默认控件是( )。

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绝热材料按(　　)划分，可分为纤维类、颗粒类和发泡类。

在学生表中使用"照片"字段存放相片，当使用向导为该表创建窗体时，照片字段使用的默认控件是(　　)。