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  3. [2016年] 设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其导函数y′的图形如图1．2．5．4所示，则( )．

[2016年] 设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其导函数y′的图形如图1．2．5．4所示，则( )．

admin2021-01-19  17
问题 [2016年]  设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其导函数y′的图形如图1．2．5．4所示，则(    )．
选项 A、函数f(x)有2个极值点，曲线y=f(x)有2个拐点
B、函数f(x)有2个极值点，曲线y=f(x)有3个拐点
C、函数f(x)有3个极值点，曲线y=f(x)有1个拐点
D、函数f(x)有3个极值点，曲线y=f(x)有2个拐点
答案B
解析  可利用定理1．2．5．1(函数取得极值的第一充分条件)判别函数f(x)有多少个极值点．可利用命题1．2．5．3(1)判别点(x0，f(x0))是曲线y=f(x)的拐点．
    由导函数的图形1．2．5．4易看出，导数为0的点有x=a，b，c，d．它们是可导函数取极值的候选点．
    由图易看出：当x＜a时，f′(x)＞0；当x＞a时，f′(x)＜0．由定理1．2．5．1(1)可判别x=a为f(x)的极大值点；
    当x＜c时，f′(x)＜0；当x＞c时，f′(x)＞0．由定理1．2．5．1(2)可判别x=c为f(x)的极小值点．
    但当x＜b时，f′(x)＜0；当x＞b时，f′(x)＜0．由定理1．2．5．1(3)知，x=b不是极值点．
    同理，当x＜d和x＞d时，f′(x)＞0，故x=d也不是极值点．
    当x＜b时，f′(x)单调下降，故f″(x)＜0．当b＜x＜e时，f′(x)单调上升，故f″(x)＞0．
由命题1．2．5．3(1)知，点(6，f(b))为拐点．
    当c＜x＜e时，f′(x)单调上升，故f″(x)＞0．又当e＜x＜d时，f′(x)单调下降，f″(x)＜0．由命题1．2．5．3(1)知，点(e，f(e))为拐点．
    当e＜x＜d时，f′(x)单调下降，f″(x)＜0．当x＞d时，f′(x)单调上升，故f″(x)＞0．由命题1．2．5．3(1)知，点(d，f(d))为曲线的拐点．
    综上知，曲线y=f(x)有2个极值点和3个拐点．仅(B)入选．
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考研数学二

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