2. 考研
  3. 设矩阵A=(aij)n×n的秩为，2，记A的元素aij的代数余子式为Aij，并记A的前r行组成的r×n矩阵为B，证明：向量组 α1=(Ar+1，1，…，Ar+1，n)T α1=(Ar+2，1，…，Ar+2，n)T …… αn

设矩阵A=(aij)n×n的秩为，2，记A的元素aij的代数余子式为Aij，并记A的前r行组成的r×n矩阵为B，证明：向量组 α1=(Ar+1，1，…，Ar+1，n)T α1=(Ar+2，1，…，Ar+2，n)T …… αn

admin2018-08-03  27
问题 设矩阵A=(aij)n×n的秩为，2，记A的元素aij的代数余子式为Aij，并记A的前r行组成的r×n矩阵为B，证明：向量组
    α1=(Ar+1，1，…，Ar+1，n)T
    α1=(Ar+2，1，…，Ar+2，n)T
    ……
    αn—r=(An1，…，Ann)T
是齐次线性方程组Bx=0的基础解系．
选项
答案由于A的行向量组线性无关，故B的行向量组线性无关，→r(B)=r，→方程组Bx=0的基础解系含n一r个向量，所以，要证明α1，α2，…，αn—r是方程组Bx=0的基础解系，只要证明α1，α2，…，αn—r是Bx=0的线性无关解向量即可．首先，由于[*]aijAkj=0(i=1，2，…，r；k=r+1，…，n)，故α1，…，αn—r都是方程组Bx=0的解向量；其次，由于｜A*｜=｜A｜n—1≠0，知A*的列向量组线性无关，而α1，…，αn—r是A*的后n一r列，故α1，…，αn—r线性无关，因此α1，…，αn—r是Bx=0的线性无关解向量．
解析
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考研数学一

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