2. 考研
  3. 设有3组二次型： 第①组，f(x1，x2，x3)=x12+4x1x2+x22+x32，g(y1，y2，y3)=y12+y22+2y2y3+y32； 第②组，f(x1，x2，x3)=λ1x12+λ2x22+λ3x32，g(y1，y2，y3)=

设有3组二次型： 第①组，f(x1，x2，x3)=x12+4x1x2+x22+x32，g(y1，y2，y3)=y12+y22+2y2y3+y32； 第②组，f(x1，x2，x3)=λ1x12+λ2x22+λ3x32，g(y1，y2，y3)=

admin2021-04-16  48
问题 设有3组二次型：
    第①组，f(x1，x2，x3)=x12+4x1x2+x22+x32，g(y1，y2，y3)=y12+y22+2y2y3+y32；
    第②组，f(x1，x2，x3)=λ1x12+λ2x22+λ3x32，g(y1，y2，y3)=λ3y12+λ3y22+λ3y32；
    第③组，f(x1，x2，x3)x12+x22+x32，g(y1，y2，y3)=y22+2y2y3。
    则二次型矩阵彼此合同的是第________组。
选项
答案②
解析 第①组，用配方法，f(x1，x2，x3)xTAx=x12+4x1x2+x22+x32
=(x1+2x2)2-3x22+x33，故A的秩为3，正惯性指数为2。
g(y1，y2，y3)=yTBy=y12+y22+2y2y3+y32；
=y12+(y2+y3)2，故B的秩为2，正惯性指数为2。
因A与B的负惯性指数不同，所以A与B不合同。
第②组，f(x1，x2，x3)=xTAx与g(y1，y2，y3)=yTBy的矩阵分别为对角矩阵

故A，B有完全相同的特征值，其正、负惯性指数亦分别相同，所以A与B合同。
第③组，f(x1，x2，x1)=xTAx的矩阵为

所以A的正惯性指数为3，又
g(y1，y2，y3)=yTBy=y22+2y1y3，令
得此二次型的标准形为g=z22+2z12-2z32，故B的正惯性指数为2，因A的正惯性指数≠B的正惯性指数，所以A与B不合同，综上所述，第②组二次型矩阵合同。
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考研数学三

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