设。 (Ⅰ)验证它是某个二元函数u(x，y)的全微分； (Ⅱ)求出u(x，y)； (Ⅲ)计算。

admin2018-05-25 23

问题设

。
(Ⅰ)验证它是某个二元函数u(x，y)的全微分；
(Ⅱ)求出u(x，y)；
(Ⅲ)计算

。

选项

答案(Ⅰ) [*] 根据全微分方程的充要条件，故当x²+y²≠0时，[*]是某个二元函数的全微分。 (Ⅱ)求解u(x，y)有三种方法。方法一：不定积分法。 [*] 方法二：凑全微分法。 [*] 方法三：曲线积分法。因为[*]与积分路径无关，取积分路径为A(1，1)经C(x，1)到B(x，y)的折线段。则 [*] 根据起点的任意性，故可得u(x，y)=[*]+C。 (Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)的结论，则[*]=u(0，4)一u(—3，0)=4—3=1。

解析

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考研数学一

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(Ⅰ)求级数的收敛域；(Ⅱ)求证：和函数S(χ)＝定义于[0，＋∞)且有界．
(Ⅰ)求累次积分J＝(Ⅱ)设连续函数f(χ)满足f(χ)＝1＋∫χ1f(y)f(y－χ)dy，记I＝∫01f(χ)dχ，求证：I＝1＋∫01f(y)dy∫0yf(y－χ)dχ，(Ⅲ)求出I的值．
设函数f(x)在(a，b)内存在二阶导数，且f’’(x)＜0．试证：若x0∈(a，b)，则对于(a，b)内的任何x，有f(x0)≥f(x)-f’(x0)(x-x0)，当且仅当x=x0时等号成立；
设(1)求证：若b＞1，则发散；(2)当b=1时，试举出可能收敛也可能发散的例子．
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函数u=ln(x2+y2+z2)在点M(1，2，一2)处的梯度=__________
设总体X一N(0，σ2)，参数σ＞0未知，X1，X2，…，Xn是取自总体X的简单随机样本(n＞1)，令估计量(Ⅰ)验证的无偏性；(Ⅱ)求方差并比较其大小．

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