(2001年)计算其中L是平面x+y+z=2与柱面|x|+|y|=1的交线，从z轴正向看去，L为逆时针方向。

admin2021-01-15 3

问题 (2001年)计算

其中L是平面x+y+z=2与柱面|x|+|y|=1的交线，从z轴正向看去，L为逆时针方向。

选项

答案用斯托克斯公式，取平面x+y+z=2被L所围成的部分为S，按斯托克斯公式的规定，它的方向向上(曲线的正向与曲面的侧的方向符合右手法则)，S在xOy平面上的投影域记为 D={(x，y)||x|+|y|≤1}。由斯托克斯公式得 [*] 由于有向面积元(dydz，dzdx，dxdy)和曲面x+y+z=2的法向量(1，1，1)是共线的，所以[*]即dydz=dzdx=dxdy，则 [*] 由D关于x轴，y轴的对称性及被积函数的奇偶性得 [*] D为|x|+|y|≤1，D的面积=[*]所以I=-1 2·2=一24。

解析

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考研数学一

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