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已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为√3,右准线方程为x=. 设直线l是圆O:x2+y2=2上动点P(x0,y0)(x0,y0≠0)处的切线,l与双曲线C交于不同的两点A,B,证明∠AOB的大小为定值.
已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为√3,右准线方程为x=. 设直线l是圆O:x2+y2=2上动点P(x0,y0)(x0,y0≠0)处的切线,l与双曲线C交于不同的两点A,B,证明∠AOB的大小为定值.
admin
2019-06-01
33
问题
已知双曲线C:
=1(a>0,b>0)的离心率为√3,右准线方程为x=
.
设直线l是圆O:x
2
+y
2
=2上动点P(x
0
,y
0
)(x
0
,y
0
≠0)处的切线,l与双曲线C交于不同的两点A,B,证明∠AOB的大小为定值.
选项
答案
点P(x
0
,y
0
)(x
0
y
0
≠0)在圆x
2
+y
2
=2上,圆在点P(x
0
,y
0
)处的切线l的方程为y-y
0
=-[*](x-x
0
), 化简得x
0
x+y
0
y=2,由[*]及x
0
2
+y
0
2
=2得(3x
0
2
一4)x
2
-4x
0
x+8-2x
0
2
=0.因为切线l与双曲线C交于不同的两点A,B,且0<x<2,所以3x
0
2
-4不到≠0,且△=16x
0
2
-4(3x
0
2
-4)(8-2x
0
2
)>0. 设A,B两点的坐标分别为(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
),则x
1
+x
2
=[*],x
1
x
2
=[*]因为cos∠AOB=[*] =x
1
x
2
+y
1
y
2
=x
1
x
2
+[*](2-x
0
x
1
)(2-x
0
x
2
)=x
1
x
2
+[*][4-2x
0
(x
1
+x
2
)+x
0
2
x
1
x
2
]=[*]=0,所以∠AOB的大小为90°.
解析
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