[2001年] 设α1,α2,…,αs为线性方程组AX=0的一个基础解系: β1=t1α1+t2α2, β2=t1α2+t2α3, …, βs=t1αs+t2α1,其中t1,t2为实常数.试问t1,t2满足什么关系时,β1,β2,…,βs也

admin2019-05-10  30

问题 [2001年]  设α1,α2,…,αs为线性方程组AX=0的一个基础解系:
    β1=t1α1+t2α2,  β2=t1α2+t2α3,  …,  βs=t1αs+t2α1,其中t1,t2为实常数.试问t1,t2满足什么关系时,β1,β2,…,βs也为AX=0的一个基础解系.

选项

答案 为证β1,β2,…,βs为AX=0的基础解系,需证β1,β2,…,βs为AX=0的解,且β1,β2,…,βs线性无关,s=n一秩(A).其关键是要证明β1,β2,…,βs线性无关. 由α1,α2,…,αs为AX=0的基础解系知,s=n一秩(A),因β1,β2,…,βs均为α1,α2,…,αs的线性组合,而α1,α2,…,αs又为AX=0的解,根据齐次方程解的性质知,βi(i=1,2,…,s)为AX=0的解.下面证β1,β2,…,βs线性无关,给出两种证法. 证一 设k1β1+k2β2+…+ksβs=0,即 (t1k1+t2ks1+(t2k1+t1k22+(t2k2+t1k33+…+(t2ks-1+t1kss=0. 由于α1,α2,…,αs线性无关,于是得 [*]① 因方程组①的系数矩阵的行列式为 [*]=t1s+(一1)s+1t2. 故当t1s+(一1)s+1t2s≠0时,方程组①只有零解k1=k2=…一ks=0,从而β1,β2,…,βs线性无关,即当S为偶数时,t1≠±t2,s为奇数,当t1≠一t2时,β1,β2,…,βs线性无关,从而β1,β2,…,βs也为AX=0的一个基础解系. 证二 由命题2.3.2.4知,当t1s+(一1)s+1t2≠0时,β1,β2,…,βs线性无关.即得:当s为偶数,t1≠±t2;当s为奇数,t1≠一t2时,β1,β2,…,βs线性无关,从而β1,β2,…,βs,也为AX=0的一个基础解系.

解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/dLLRFFFM
0

随机试题
最新回复(0)