2. 考研
  3. (1)比较∫01｜ln t｜[ln(1＋t)]ndt与∫01t2｜ln t｜dt(n＝1，2，…)的大小，说明理由； (2)记un＝∫01｜ln t｜[ln(1＋t)ndt(n＝1，2，…)，求极限．

(1)比较∫01｜ln t｜[ln(1＋t)]ndt与∫01t2｜ln t｜dt(n＝1，2，…)的大小，说明理由； (2)记un＝∫01｜ln t｜[ln(1＋t)ndt(n＝1，2，…)，求极限．

admin2014-01-26  48
问题 (1)比较∫01｜ln t｜[ln(1＋t)]ndt与∫01t2｜ln t｜dt(n＝1，2，…)的大小，说明理由；
(2)记un＝∫01｜ln t｜[ln(1＋t)ndt(n＝1，2，…)，求极限．
选项
答案(1)当0≤t≤1时，0≤ln(1＋t)≤t，故｜ln t｜[ln(1＋t)]n≤｜ln t｜tn， 由积分性质得∫01｜ln t｜[ln(1＋t)]ndt≤∫01tn｜ln t｜dt(n＝1，2，…)． (2)∫01tn｜ln t｜dt＝－∫01tn.ln tdt＝[982*] 于是有[*]， 由夹逼定理得[*]。
解析 [分析]x,－t(1)比较被积函数的大小，对(2)用分部积分法计算积分∫01tn｜ln t｜dt，再用夹逼定理求极限．
[评注]  若一题有多问，一定要充分利用前问提供的信息．
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考研数学二

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