2. 考研
  3. 设幂级数在它的收敛区间内所表示的和函数y＝y(x)满足微分方程y＂＋4xy＝0及初始条件y(0)＝a，y＇(0)＝b．求该幂级数的具体表达式(即求an，n＝0，1，2，…)及该幂级数的收敛区间．

设幂级数在它的收敛区间内所表示的和函数y＝y(x)满足微分方程y＂＋4xy＝0及初始条件y(0)＝a，y＇(0)＝b．求该幂级数的具体表达式(即求an，n＝0，1，2，…)及该幂级数的收敛区间．

admin2019-07-24  16
问题 设幂级数在它的收敛区间内所表示的和函数y＝y(x)满足微分方程y＂＋4xy＝0及初始条件y(0)＝a，y＇(0)＝b．求该幂级数的具体表达式(即求an，n＝0，1，2，…)及该幂级数的收敛区间．
选项
答案幂级数在它的收敛区间内可以逐项求导，于是知，由[*]在它的收敛区间内有[*] 代入所给微分方程，有[*] 为使同类项合并，整理得[*] 即[*] 又由初始条件，代入题给幂级数[*]中，得a0＝y(0)＝a；a1＝y＇(0)＝b．再由①式得 a2＝0， [*] 由上述递推式可推得[*]i62 其中a0＝a． [*] 其中a1＝b． a5＝a8＝…＝a3k－2＝…＝0，k＝1，2，…． 于是所求幂级数为 [*] 以上可以看成两个幂级数，容易求得它们的收敛区间都是(－∞，＋∞)．例如对于第一个幂级数，将其中的x看成一个数，x≠0．这个数项级数后项与相应的前一项之比的极限： [*] 即对任何x≠0都收敛，而当x＝0时幂级数只剩一项当然收敛，所以收敛区间为(－∞，＋∞)，收敛半径R＝＋∞． 【注】这种题型由于计算量太大，容易做错，不常考，但也考过，例如2007年数学一。用已知幂级数去验证它是某微分方程的解，显得比本题略为容易些，例如2002年数学一。
解析
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考研数学一

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