已知α1,α2,…,αs线性无关,β可由α1,α2,…,αs线性表出,且表达式的系数全不为零.证明:α1,α2,…,αs,β中任意s个向量均线性无关.

admin2018-09-25  26

问题 已知α1,α2,…,αs线性无关,β可由α1,α2,…,αs线性表出,且表达式的系数全不为零.证明:α1,α2,…,αs,β中任意s个向量均线性无关.

选项

答案用反证法.设α1,α2,α3 ,β中存在s个向量α1,α2,…,αi-1,αi+1,…,αs,β线性相关,则存在不全为零的数k1,k2,…,ki-1,ki+1,…,ks,k,使得 k1α1+…+ki-1αi-1+ki+1αi+1+…+ksαs+kβ=0. ① 另一方面,由题设有 β=l1α1+l2α2+…+liαi+…+lsαs, 其中li≠0,i=1,2,…,s.代入上式,得 (k1+kl11+(k2+kl22+…+(ki-1+kli-1i-1+kliαi+(ki+1+kli+1i+1+…+(ks+klss=0. 因α1,α2,…,αs线性无关,从而有kli=0,li≠0,得k=0,从而由①式得k1,k2,…,ki-1,ki+1,ks均为零,矛盾. 故α1,α2,…,αs,β中任意s个向量均线性无关.

解析
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