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已知α1,α2,…,αs线性无关,β可由α1,α2,…,αs线性表出,且表达式的系数全不为零.证明:α1,α2,…,αs,β中任意s个向量均线性无关.
已知α1,α2,…,αs线性无关,β可由α1,α2,…,αs线性表出,且表达式的系数全不为零.证明:α1,α2,…,αs,β中任意s个向量均线性无关.
admin
2018-09-25
22
问题
已知α
1
,α
2
,…,α
s
线性无关,β可由α
1
,α
2
,…,α
s
线性表出,且表达式的系数全不为零.证明:α
1
,α
2
,…,α
s
,β中任意s个向量均线性无关.
选项
答案
用反证法.设α
1
,α
2
,α
3
,β中存在s个向量α
1
,α
2
,…,α
i-1
,α
i+1
,…,α
s
,β线性相关,则存在不全为零的数k
1
,k
2
,…,k
i-1
,k
i+1
,…,k
s
,k,使得 k
1
α
1
+…+k
i-1
α
i-1
+k
i+1
α
i+1
+…+k
s
α
s
+kβ=0. ① 另一方面,由题设有 β=l
1
α
1
+l
2
α
2
+…+l
i
α
i
+…+l
s
α
s
, 其中l
i
≠0,i=1,2,…,s.代入上式,得 (k
1
+kl
1
)α
1
+(k
2
+kl
2
)α
2
+…+(k
i-1
+kl
i-1
)α
i-1
+kl
i
α
i
+(k
i+1
+kl
i+1
)α
i+1
+…+(k
s
+kl
s
)α
s
=0. 因α
1
,α
2
,…,α
s
线性无关,从而有kl
i
=0,l
i
≠0,得k=0,从而由①式得k
1
,k
2
,…,k
i-1
,k
i+1
,k
s
均为零,矛盾. 故α
1
,α
2
,…,α
s
,β中任意s个向量均线性无关.
解析
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