2. 考研
  3. 设f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)上可导，且f(0)＝f(1)＝0，若f(χ)在[0，1]上的最大值为M＞0设n＞1，证明： (Ⅰ)存在c∈(0，1)，使得f(c)＝； (Ⅱ)存在互不相同的ξ，η∈(0，1)，使得

设f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)上可导，且f(0)＝f(1)＝0，若f(χ)在[0，1]上的最大值为M＞0设n＞1，证明： (Ⅰ)存在c∈(0，1)，使得f(c)＝； (Ⅱ)存在互不相同的ξ，η∈(0，1)，使得

admin2017-11-30  49
问题 设f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)上可导，且f(0)＝f(1)＝0，若f(χ)在[0，1]上的最大值为M＞0设n＞1，证明：
    (Ⅰ)存在c∈(0，1)，使得f(c)＝；
    (Ⅱ)存在互不相同的ξ，η∈(0，1)，使得
选项
答案(Ⅰ)根据已知条件，存在a∈(0，1]，使得f(a)＝M。令 F(χ)＝f(χ)－[*]， 显然F(χ)在[0，1]上连续，又因为f(0)＝0，n＞1，故 [*] 由零点定理可知，至少存在一点c∈(0，a)，使得F(c)＝f(c)－[*]＝0，即f(c)＝[*]。 (Ⅱ)在[0，c]，[c，1]上分别使用拉格朗日中值定理。已知f(χ)在[0，1]上连续，在 f(1)－f(c)＝(1－c)f′(η) (2) 由(1).f′(η)＋(2).f′(ξ)，结合f(0)＝f(1)＝0可得， [f′(η)－f′(ξ)]f(c)＝f′(ξ)f′(η)， 再由结论f(c)＝[*]可知， [f′(η)－f′(ξ)][*]＝f′(ξ)f′(η)， 即[*]
解析
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考研数学一

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