设A是n阶反对称矩阵。 (Ⅰ)证明:A可逆的必要条件是儿为偶数;当n为奇数时,A*是对称矩阵; (Ⅱ)试举一个4阶不可逆的反对称矩阵的例子。

admin2019-07-19  7

问题 设A是n阶反对称矩阵。
(Ⅰ)证明:A可逆的必要条件是儿为偶数;当n为奇数时,A*是对称矩阵;
(Ⅱ)试举一个4阶不可逆的反对称矩阵的例子。

选项

答案(Ⅰ)根据反对称矩阵的定义:AT=-A,则 |A|=|AT|=|-A|=(-1)n|A|, 即[1-(-1)n]|A|=0。 若n=2k+1,必有|A|=0,此时A不可逆。所以A可逆的必要条件是n为偶数。 因为AT=-A,则由(A*)T=(AT)*有 (A*)t=(At)*=(-A)*。 又因(lA)*=ln-1A*,故当n=2k+1时,有 (A*)T=(-1)2KA*=A*, 即A*是对称矩阵。 (Ⅱ)例如,A=[*]是4阶反对称矩阵,且不可逆。

解析
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