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  3. 设A是n阶反对称矩阵。 (Ⅰ)证明：A可逆的必要条件是儿为偶数；当n为奇数时，A*是对称矩阵； (Ⅱ)试举一个4阶不可逆的反对称矩阵的例子。

设A是n阶反对称矩阵。 (Ⅰ)证明：A可逆的必要条件是儿为偶数；当n为奇数时，A*是对称矩阵； (Ⅱ)试举一个4阶不可逆的反对称矩阵的例子。

admin2019-07-19  7
问题 设A是n阶反对称矩阵。
(Ⅰ)证明：A可逆的必要条件是儿为偶数；当n为奇数时，A*是对称矩阵；
(Ⅱ)试举一个4阶不可逆的反对称矩阵的例子。
选项
答案(Ⅰ)根据反对称矩阵的定义：AT=-A，则 ｜A｜=｜AT｜=｜-A｜=(-1)n｜A｜， 即[1-(-1)n]｜A｜=0。 若n=2k+1，必有｜A｜=0，此时A不可逆。所以A可逆的必要条件是n为偶数。 因为AT=-A，则由(A*)T=(AT)*有 (A*)t=(At)*=(-A)*。 又因(lA)*=ln-1A*，故当n=2k+1时，有 (A*)T=(-1)2KA*=A*， 即A*是对称矩阵。 (Ⅱ)例如，A=[*]是4阶反对称矩阵，且不可逆。
解析
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考研数学一

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