设f(χ,y)二阶连续可偏导,g(χ,y)=f(eχy,χ2+y2),且 f(χ,y)=1-χ-y+o(), 证明:g(χ,y)在(0,0)处取极值,并判断是极大值还是极小值,求极值.

admin2017-09-15  46

问题 设f(χ,y)二阶连续可偏导,g(χ,y)=f(eχy,χ2+y2),且
    f(χ,y)=1-χ-y+o(),
    证明:g(χ,y)在(0,0)处取极值,并判断是极大值还是极小值,求极值.

选项

答案由f(χ,y)=1-χ-y+o([*])得 f(χ,y)=-(χ-1)-y+o([*]), 由可微的定义得 f(1,0)=0,f′χ(1,0)=f′y(1,0)=-1. [*]=yeχyf′1+2χf′2, [*]=χeχyf′1+2yf′2, g′χ(0,0)=0,g′y(0,0)=0. [*]=y2eχyf′1+yeχy(yeχyf〞11+2χf〞12)+2f′1+2χ(yeχyf〞21+2χf〞22), [*]=(eχy+χyeχy)f′1+yeχy(χeχyf〞11+2yf〞12)+2χ(χeχyf〞21+2yf〞22), [*]=χ2eχyf1+χeχy(χeχyf〞11+2yf〞12)+2f′2+2f(χeχyf〞21+2yf〞22), 则AA=g〞χχ(0,0)=-2,B=g〞χy(0,0)=-1,C=g〞yy(0,0)=-2, 因为AC-B2=3>0且A<0,所以g(χ,y)在(0,0)处取到极大值,极大值为g(0,0)=0.

解析
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