2. 考研
  3. 设f(x)有界，且f’(x)连续，对任意的x∈(一∞，+∞)有|f(x)+f’(x)|≤1．证明：|f(x)|≤1．

设f(x)有界，且f’(x)连续，对任意的x∈(一∞，+∞)有|f(x)+f’(x)|≤1．证明：|f(x)|≤1．

admin2016-10-24  25
问题 设f(x)有界，且f’(x)连续，对任意的x∈(一∞，+∞)有|f(x)+f’(x)|≤1．证明：|f(x)|≤1．
选项
答案令φ(x)=exf(x)，则φ’(x)=ex[f(x)+f’(x)]， 由|f(x)+f’(x)|≤1得|φ’(x)|≤ex，又由f(x)有界得φ(一∞)=0，则 φ(x)=φ(x)一φ(一∞)=∫一∞xφ’(x)dx，两边取绝对值得 ex|f(x)|≤∫一∞x|φ’(x)|dx≤∫一∞xexdx=ex，所以|f(x)|≤1．
解析
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考研数学三

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