设f(x)有界，且f’(x)连续，对任意的x∈(一∞，+∞)有|f(x)+f’(x)|≤1．证明：|f(x)|≤1．

admin2016-10-24 29

问题设f(x)有界，且f’(x)连续，对任意的x∈(一∞，+∞)有|f(x)+f’(x)|≤1．证明：|f(x)|≤1．

选项

答案令φ(x)=e^xf(x)，则φ’(x)=e^x[f(x)+f’(x)]，由|f(x)+f’(x)|≤1得|φ’(x)|≤e^x，又由f(x)有界得φ(一∞)=0，则 φ(x)=φ(x)一φ(一∞)=∫_一∞^xφ’(x)dx，两边取绝对值得 e^x|f(x)|≤∫_一∞^x|φ’(x)|dx≤∫_一∞^xe^xdx=e^x，所以|f(x)|≤1．

解析

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考研数学三

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